符号给困难问题带来的明晰性,使得任何掌握这些符号可能遇到的麻烦都是值得的
大多数人喜欢自认为是有逻辑性的,没逻辑通常是一种批评。
逻辑即根据 已知
进行 推理
,以及判断这种推理是否合理,或者说 valid
有效
_deductively valid_,演绎有效的:前提为真,则结论一定为真
_inductively valid_,归纳有效的:前提为真,则结论有可能为真,但也可能为假
以及无效推理
除非特别说明,“有效”以后就指“演绎有效”。
有效性更进一步的解释是:
假定上面的解释是正确的,假定我们可以分辨有效与无效,由于我们不可能考察所有的情形,所以判断正确仍需要某种特别的规则
英语中语法是否有效由人为规定,逻辑有效的规则天生存在吗?我们通常用自己的直觉判断有效性,但直觉不总是对的,我们需要借助一些数学工具
真值函数的取值只有真假,没有中间项。
为判断推断是否有效,只需考虑前提为真结论是否为真即可。例如:
这个推断的前提永远为假,然鹅这也符合我们对有效的定义:没有一个前提为真时,结论为假的情形。这种有效被称为 vacuously 空洞有效。
前提永远为假,那么无论得出什么结论,这个推断逻辑都可以是有效合理的
a∧b 和 b ∧a 看起来带来完全相同的结果,但是在语言中并不总是如此:
当第二句为假时第一句也可以为真,反之亦然。或也有类似的问题
所以我们的逻辑工具并不总是恰当的,例如此处的真值函数